Egyptologie
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Diaraf SECK : Articles dans la Revue ANKH - Essays in ANKH Journal

 

Résumés - Summaries

 

ANKH n°6/7

ANKH n°6-7, 1997/1998, pp. 236 - 279.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Existence d'une solution d'un problème à frontière libre de type Bernoulli. Méthodes de sur-solutions et de sous-solutions géométriques

 

Résumé : Il s'agit d'étudier l'existence d'une solution d'un problème à frontière libre de type Bernoulli. Plus précisément on recherche un domaine de forme annulaire de l'espace à N dimensions sur lequel existe une solution pour certaine équation aux dérivées partielles surdéterminée (c'est-à-dire que le gradient de la fonction solution doit satisfaire une certaine condition sur la frontière du domaine inconnu).

 

Ce problème intervient dans de nombreuses situations physiques (comme par exemple, le formage électrochimique, isolation thermique optimale, écoulement Hele Shaw) et a été beaucoup étudié ces dernières années.

 

Dans ce travail, on reprend une ancienne méthode, due à A. Beurling en dimension deux, pour prouver l'existence de solutions à ce problème par l'introduction de sous et sur-solutions géométriques et on généralise cette méthode à la dimension N.

 

Nous comparons ensuite les solutions que nous avons obtenues avec celles obtenues par d'autres auteurs, comme H. W. ALT et L. CAFFARELLI par exemple. On prouve aussi, sous certaines hypothèses, la régularité lipschitzienne de la frontière libre.

 

 

Abstract : Existence of a Solution of a Bernoulli's Free Boundary ProblemOne searchs a ring in N dimensional, which satisfies an over-determined partial differential equations (that is, the gradient of the function which is solution, has to satisfy a condition over the boundary of the unknown domain).

 

This problem was very studied in the last years and the physical and industrial applications leading to Bernoulli's free boundary problem are numerous - for example free surfaces in ideal fluid dynamics, optimal insolation, electrolytic drilling, galvanization.

 

In this work, we take back an old method due to A. BEURLING in two dimensions, in order to prove existence of solutions for problem, by introducing geometric sub and super-solutions and we generalize this method in high dimension.

 

Then we compare the solution that we obtain with those obtained by other authors, like H. W. ALT and L. CAFARELLI. We prove also, under a number of hypothesis the Lipschitz regularity of the boundary.

 


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